Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по учебному пособию [6] изучить подразде-
лы 1.4 и 1.5. Следует обратить особое внимание на подраздел
1.4 и знать все типы окрестностей, их обозначения и формы
записи в виде неравенств.
Утверждение lim
x→x
0
f(x) = A означает: для любой окрестно-
сти U (A) (в частности, сколь угодно малой) элемента A най-
дётся проколотая окрестность
˙
V (x
0
) элемента x
0
такая, что из
условия x ∈
˙
V (x
0
) ∩ X следует, f(x) ∈ U(A), где X — область
определения функции f(x), а x
0
— предельная точка множе-
ства X.
Часто вместо произвольной окрестности U(A) рассматри-
вают симметричную окрестность U
ε
(A). При этом окрестность
˙
V (x
0
) может получиться как симметричной, так и несиммет-
ричной, но из всякой несимметричной окрестности можно вы-
делить симметричную
˙
V
δ
(x
0
). Поскольку окрестность
˙
V (x
0
)
проколотая, т.е. не содержит точку x
0
, то x 6= x
0
, и в точке
x
0
функция f(x) может быть не определена.
Чтобы доказать, что lim
x→x
0
f(x) = A, достаточно найти
множество {x} тех значений x, для которых справедливо
включение f(x) ⊂ U (A) для любой окрестности U(A). Если
найденное множество {x} является окрестностью x
0
, то утвер-
ждение lim
x→x
0
f(x) = A справедливо, в противном случае оно
неверно. В частности, если функция f (x) в точке x
0
опреде-
лена и lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
), то множество {x} будет содержать и
точку x
0
.
Приведённое определение предела применимо для любого
класса функций. В этом разделе мы будем в основном зани-
маться числовыми функциями одного числового аргумента.
3.1. Исходя из определения предела, доказать:
а) lim
x→x
0
x = x
0
; б) lim
x→2
1
x
=
1
2
;
в) lim
x→+∞
1
x
= lim
x→−∞
1
x
= lim
x→∞
1
x
= 0;

Страницы