Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26 Введение в математический анализ
г) lim
x→0+0
1
x
= +∞; д) lim
x→0−0
1
x
= −∞;
е) lim
x→1
1
x
6= 2; ж) lim
x→2
x
2
= 4.
Решение: а) утверждение lim
x→x
0
x = x
0
непосредственно
следует из определения предела. Если окрестность U
ε
(x
0
)
(|x − x
0
| < ε) дана, то в качестве окрестности
˙
V
δ
(x
0
) можно
принять |x − x
0
| < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
б) докажем, что lim
x→2
1
x
=
1
2
. По определению предела
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
U
ε
µ
1
2
, ε > 0 существует окрестность
˙
V (2) такая, что если
x ∈
˙
V (2), то
¯
¯
¯
¯
1
x
−
1
2
¯
¯
¯
¯
< ε, т.е.
1
x
∈ U
ε
µ
1
2
, что равносильно сле-
дующим двум неравенствам:
−ε <
1
x
−
1
2
< +ε
Рис. 3.1
или
1
2
− ε <
1
x
<
1
2
+ ε.
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2
1 + 2ε
< x <
2
1 − 2ε
.
Очевидно,
2
1 + 2ε
< 2,
2
1 − 2ε
> 2,
следовательно, множе-
ство
µ
2
1 + 2ε
,
2
1 − 2ε
является окрестностью точки x
0
= 2 (несимметричной). Суще-
ствование требуемой окрестности
˙
V (2) доказано (рис. 3.1).

Страницы