Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28 Введение в математический анализ
Подчеркнём, что равенство lim
x→∞
1
x
= 0 равносильно двум
равенствам: lim
x→−∞
1
x
= 0 и lim
x→+∞
1
x
= 0;
г) докажем ра-
| {z }
V
+
1/M
(0)
U
M
(+∞)
←
↑
Рис. 3.3
венство
lim
x→0+0
1
x
= +∞.
Нужно доказать,
что для любой ок-
рестности U
M
(+∞)
существует правая
полуокрестность
V
+
δ
(0) (0 < x < δ)
такая, что если
x ∈ V
+
δ
(0), то
1
x
∈ U
M
(+∞).
Последнее означает,
что
1
x
> M. Так как x > 0, M > 0, то 0 < x <
1
M
. Если поло-
жить δ =
1
M
, то требуемая окрестность V
+
δ
(0) найдена и ра-
венство lim
x→0+0
1
x
= 0 доказано (рис. 3.3).
Аналогично можно доказать, что lim
x→0−0
1
x
= −∞ (предлага-
ем проделать это самостоятельно);
е) докажем, что lim
x→1
1
x
6= 2. Предположим противное, т.е.
что lim
x→1
1
x
равен двум. Это означало бы: для любой окрест-
ности U
ε
(2) существует окрестность
˙
V (1) такая, что если
x ∈
˙
V (1), то
1
x
∈ U
ε
(2), т.е.
¯
¯
¯
¯
1
x
− 2
¯
¯
¯
¯
< ε, или 2 −ε <
1
x
< ε + 2.

Страницы