Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Предел функции 29
Так как все части неравенства можно считать положительны-
ми, то
1
2 + ε
< x <
1
2 − ε
. Только для этих значений x выпол-
няется
¯
¯
¯
¯
1
x
− 2
¯
¯
¯
¯
< ε. Но точка x = 1 в найденную окрестность
µ
1
2 + ε
;
1
2 − ε
при малом ε не входит, т.е. данное множество
не является окрестностью точки 1. Таким образом, требуемая
окрестность
˙
V (1) не существует, а потому lim
x→1
1
x
не может рав-
няться двум;
ж) докажем, что lim
x→2
x
2
= 4. Требуется показать, что для
любой достаточно малой окрестности U
ε
(4) существует окрест-
ность
˙
V (2) точки 2 такая, что если x ∈
˙
V (2), то x
2
∈ U
ε
(4),
т.е. |x
2
− 4| < ε, или −ε < x
2
− 4 < ε, 4 − ε < x
2
< 4 + ε. Так
как x → 2, то можно считать, что x > 0, при x > 0 функция
y = x
2
монотонно возрастает, поэтому
√
4 − ε < |x| <
√
4 + ε.
Поскольку x > 0, то знак модуля можно опустить и запи-
сать
√
4 − ε < x <
√
4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу
(
√
4 − ε;
√
4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ-
ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при-
нимаем в качестве
˙
V (2). Существование
˙
V (2) доказано, а этим
доказано, что lim
x→2
x
2
= 4.
3.2. Докажите самостоятельно, что
lim
x→x
0
+0
1
x − x
0
= +∞, lim
x→x
0
−0
1
x − x
0
= −∞.
Указание: сделать замену x − x
0
= t и применить задачу 3.1.
3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и
частного, докажите, что:
а) lim
x→x
0
x
n
= x
n
0
;
б) lim
x→x
0
P
n
(x) = lim
x→x
0
(a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
) =
= a
0
x
n
0
+ a
1
x
n−1
0
+ . . . + a
n−1
x
0
+ a
n
;

Страницы