Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30 Введение в математический анализ
в) lim
x→x
0
P
n
(x)
Q
m
(x)
= lim
x→x
0
a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
b
0
x
m
+ b
1
x
m−1
+ . . . + b
m−1
x + b
m
=
=
a
0
x
n
0
+ a
1
x
n−1
0
+ . . . + a
n−1
x
0
+ a
n
b
0
x
m
0
+ b
1
x
m−1
0
+ . . . + b
m−1
x
0
+ b
m
,
где n и m — натуральные числа, a
i
и b
i
— константы,
b
0
x
m
0
+ b
1
x
m−1
0
+ . . . + b
m−1
x
0
+ b
m
6= 0, x
0
— конечно.
Решение: а) можем записать: lim
x→x
0
x
n
= lim
x→x
0
(x · x · ··· · x).
Так как lim
x→x
0
x = x
0
, то по теореме о пределе произведения
lim
x→x
0
x
n
= lim
x→x
0
x · lim
x→x
0
x · ··· · lim
x→x
0
x = x
n
0
;
б) функция P
n
(x) представляет собой сумму (1 + n) слага-
емых, каждое из которых имеет конечный предел, например,
lim
n→∞
a
0
x
n
= lim
x→x
0
a
0
lim
x→x
0
x
n
= a
0
x
n
0
. Поэтому б) следует из тео-
ремы о пределе суммы;
в) следует из теоремы о пределе частного, суммы и произ-
ведения.
Функцию P
n
(x) в задаче 3.3 называют многочленом или
полиномом порядка n (если a
0
6= 0).
3.4. Вычислите следующие пределы:
а) lim
x→2
(x
2
+ 3x + 4); б) lim
x→3
x
2
+ 2x − 3
2x
2
+ 4x − 5
.
Решение. На основе доказанного в задаче 3.3, п. б) можем
записать: lim
x→2
(x
2
+ 3x + 4) = 2
2
+ 3 · 2 + 4 = 14;
lim
x→3
x
2
+ 2x − 3
2x
2
+ 4x − 5
=
3
2
+ 2 · 3 − 3
2 · 3
2
+ 4 · 3 − 5
=
12
25
.
3.5. Найдите A = lim
x→1
5x
2
− 20x + 15
3x
2
− 15x + 12
.
Решение. В данном случае применить теорему о пределе
частного невозможно, так как знаменатель обращается при
x
0
= 1 в нуль. Заметим, что и числитель при x
0
= 1 также обра-
щается в нуль. Получаем неопределённое выражение типа 0/0.
Мы уже подчёркивали, что в определении предела при x → x
0

Страницы