Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32 Введение в математический анализ
3.8. Найдите A = lim
x→∞
7x
4
+ 2x
3
− 14
5x
4
+ x
3
+ x
2
− 1
.
Решение. Поделив числитель и знаменатель на x
4
, получим
A = lim
x→∞
7 + 2/x − 14/x
4
5 + 1/x + 1/x
2
− 1/x
4
.
Затем применяем теоремы о пределе суммы, произведения
и частного. Учитывая, что
lim
x→∞
2
x
= 0; lim
x→∞
14
x
4
= 0; lim
x→∞
1
x
= lim
x→∞
1
x
2
= lim
x→∞
1
x
4
= 0,
получаем, A =
7
5
.
3.9. Найдите A = lim
x→∞
x
4
+ 2x
2
+ 1
x
3
+ 4x + 2
.
Решение. Поделим числитель и знаменатель на x
4
. Полу-
чим A = lim
x→∞
1 + 2/x
2
+ 1/x
4
1/x + 4/x
3
+ 2/2x
4
= ∞, поскольку числитель
стремится к единице, а знаменатель — к нулю.
В некоторых случаях, встречающихся довольно часто,
функция f(x) может быть определена во всей окрестности
V (x
0
), включая и x
0
. Если при этом окажется, что lim
x→x
0
f(x)
существует и равен f (x
0
), т.е. lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
), то функция
называется непрерывной в точке x
0
.
В задаче 3.3 мы доказали непрерывность многочлена. До-
казаны следующие теоремы, которые мы будем применять при
отыскании пределов.
Теорема 1. Элементарные функции y = x
a
, y = a
x
, y =
= log
a
x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x,
y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x непрерывны в каждой
внутренней точке их области определения.
В граничных точках возможна односторонняя непрерыв-
ность. Эти точки подлежат дополнительному исследованию.
Теорема 2. Если функция ϕ(x) непрерывна в точке x
0
,
а функция f(y) непрерывна в точке y
0
= ϕ(x
0
), то функция
z = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x
0
.

Страницы