Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Предел функции 33
Для непрерывных функций в точке x
0
справедливы
равенства:
lim
x→x
0
f(x) = f( lim
x→x
0
x) = f(x
0
),
lim
x→x
0
f[ϕ(x)] = f[ lim
x→x
0
ϕ(x)] = f[ϕ( lim
x→x
0
x)] = f[ϕ(x
0
)],
т.е. символы f и lim
x→x
0
для непрерывных функций перестано-
вочны. Этим свойством мы будем широко пользоваться при
отыскании пределов, например
lim
x→3
√
x
4
+ 3x + 10 =
q
lim
x→3
(x
4
+ 3x + 10) =
=
√
81 + 9 + 10 = 10.
Использованы непрерывность функции y =
√
u и теорема о
пределе суммы.
3.10. Найдите lim
x→−∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
.
Решение.
lim
x→−∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
= lim
x→−∞
Ã
1 +
√
9x
2
+ 1
x
!
=
= lim
x→−∞
1 −
s
9x
2
+ 1
x
2
= lim
x→−∞
Ã
1 −
r
9 +
1
x
2
!
=
= 1 −
s
lim
x→−∞
µ
9 +
1
x
2
= 1 − 3 = −2.
Напомним, что a
√
b =
(
√
a
2
b, если a > 0;
−
√
a
2
b, если a < 0.
По этой причине
√
9x
2
+ 1
x
= −
s
9x
2
+ 1
x
2
, поскольку x → −∞,
а потому x < 0.
3.11. Докажите самостоятельно: lim
x→+∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
= 4.
Из задач 3.10 и 3.11 следует, что lim
x→∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
не су-
ществует.

Страницы