Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

34 Введение в математический анализ
3.12. Найдите A = lim
x→1
√
x + 8 −
√
8x + 1
√
5 − x −
√
7x − 3
.
Решение. Замечаем, что числитель и знаменатель при x → 1
стремятся к нулю, т.е. имеем неопределённость типа 0/0. Умно-
жим числитель и знаменатель на множители, сопряжённые со-
ответствующим выражениям:
A = lim
x→1
(
√
x + 8 −
√
8x + 1)(
√
x + 8 +
√
8x + 1)
(
√
5 − x −
√
7x − 3)(
√
5 − x +
√
7x − 3)
×
×
√
5 − x +
√
7x − 3
√
x + 8 +
√
8x + 1
=
= lim
x→1
(x + 8 − 8x − 1)(
√
5 − x +
√
7x − 3)
(5 − x − 7x + 3)(
√
x + 8 +
√
8x + 1)
=
= lim
x→1
7(1 − x)
8(1 − x)
·
√
5 − x +
√
7x − 3
√
x + 8 +
√
8x + 1
=
7
8
·
2 + 2
3 + 3
=
7
12
.
Мы воспользовались непрерывностью функции
√
x и теоремой
о пределе частного и суммы.
3.13. Найдите lim
x→1
3
√
2x − 1 −
3
√
3x − 2
x − 1
.
Решение. Применим формулу a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab +
+b
2
). Полагая a =
3
√
2x − 1, b =
3
√
3x − 2, умножим числитель
и знаменатель на неполный квадрат суммы чисел a и b.
Получим
lim
x→1
2x − 1 − 3x + 2
(x − 1)
³
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
´
=
= lim
x→1
−(x − 1)
(x − 1)
³
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
´
=
= lim
x→1
−1
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
= −
1
3
.
(Применили теоремы о пределе частного, суммы и произведе-
ния, а также непрерывность функций u
2
и
3
√
u.)

Страницы