Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36 Введение в математический анализ
Доказаны следующие теоремы.
Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно малая при
x → x
0
, то функция ϕ(x) =
1
f(x)
бесконечно большая при
x → x
0
. Если функция f(x) бесконечно большая при x → x
0
,
то функция ϕ(x) =
1
f(x)
бесконечно малая при x → x
0
.
Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции при
x → x
0
на ограниченную в окрестности точки x
0
функцию есть
функция бесконечно малая при x → x
0
.
Теорема 5. Произведение функции, имеющей конечный пре-
дел, отличный от нуля при x → x
0
, на бесконечно большую
функцию при x → x
0
есть функция бесконечно большая.
Все определения и теоремы переносятся на случай
x → ±∞, ∞. Более подробно бесконечно малые и бесконечно
большие функции будут рассмотрены в разделе 8.
3.16. Найдите lim
x→0
x sin
1
x
cos
1
x
.
Решение. Функция f
1
(x) = x бесконечно малая при x → 0.
Для функции f
2
(x) = sin
1
x
cos
1
x
имеем |f
2
(x)| =
1
2
¯
¯
¯
¯
sin
2
x
¯
¯
¯
¯
≤
1
2
,
т.е. функция f
2
(x) ограничена. Следовательно, имеем произве-
дение бесконечно малой при x → 0 функции на ограниченную,
а потому (по теореме 4) lim
x→0
x sin
1
x
cos
1
x
= 0.
Заметим, что применить теорему о пределе произведения
в данном случае невозможно, так как lim
x→0
f
2
(x) не существует,
что будет доказано позже.
3.17. Найдите lim
x→1+0
1
x − 1
·
x + 2
x + 3
.
Решение. Функция f
1
(x) =
1
x − 1
бесконечно большая при
x → 1 + 0, так как функция u = x − 1 бесконечно малая,
lim
x→1+0
=
x + 2
x + 3
=
3
4
. Имеем произведение бесконечно большой
функции на функцию с конечным пределом при x → 1 + 0. По

Страницы