Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Предел функции 37
теореме 5 функция
1
x − 1
x + 2
x + 3
бесконечно большая. А так как
3
4
> 0 и lim
x→1+0
1
x − 1
= +∞, то lim
x→1+0
1
x − 1
x + 2
x + 3
= +∞.
Итак, мы познакомились с понятием предела функции f(x).
Если функция в точке x
0
непрерывна, то отыскание предела
lim
x→x
0
f(x) не представляет труда. Он равен f(x
0
). Если же свой-
ство непрерывности нарушено, то могут возникнуть неопреде-
лённости вида 0/0, ∞/∞, 0 ·∞, ∞−∞, ∞
0
, 0
0
, 1
∞
. C первыми
двумя типами неопределённостей мы уже встретились. Другие
рассмотрим позднее.
Мы пока привели примеры отыскания пределов функций
f : X ⊂ R → Y ⊂ R. Пределы функций f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
будут рассмотрены в разделе 10.
Задачи для самостоятельного решения
3.18. Исходя из определения предела, докажите:
а) lim
x→1
1
x + 2
=
1
3
; б) lim
x→2−0
1
x − 2
= −∞;
в) lim
x→2+0
1
x − 2
= +∞;
г) lim
x→−∞
1
x + 1
= lim
x→+∞
1
x + 1
= lim
x→∞
1
x + 1
= 0;
д) lim
x→1−0
arcsin x =
π
2
; е) lim
x→1
1
x + 1
6= 2; ж) lim
x→2
x
3
= 8.
3.19. Найдите:
а) lim
x→2
(x
3
+ 4x − 5); б) lim
x→3
4x
4
− 8x
2
+ 28
x
3
+ 1
;
в) lim
x→1
x
2
+ 8
x
2
+ 2
; г) lim
x→4
x
x − 4
,
обосновывая ссылками на соответствующие теоремы каждую
операцию.

Страницы