ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Предел функции 35
3.14. Найдите lim
x→0+0
3
1/x
, lim
x→0−0
3
1/x
.
Решение. Сделаем замену t = 1/x. Если x → 0 + 0, то
t → +∞, если x → 0 −0, то t → −∞ (см. задачу 3.1). По свой-
ству показательной функции y = a
x
при a > 1 получаем
lim
x→0+0
3
1/x
= lim
t→+∞
3
t
= +∞,
lim
x→0−0
3
1/x
= lim
t→−∞
3
t
= lim
t→+∞
1
3
t
= 0.
Как видим, предел lim
x→0
3
1/x
не существует.
3.15. Найдите lim
x→0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
.
Решение. Найдём правый и левый пределы: lim
x→0+0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
,
lim
x→0−0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
. Сделаем замену t =
1
x
. Тогда
lim
x→0+0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
= lim
t→+∞
5
t
− 1
7
t
− 1
= lim
t→+∞
(5/7)
t
− 1/7
t
1 − 1/7
t
= 0.
Мы воспользовались свойством показательной функции y =
= a
x
: при a < 1 справедливо lim
x→+∞
a
x
= 0, при a > 1 —
lim
x→+∞
a
x
= +∞, а также теоремой о пределе частного.
Аналогично получаем
lim
x→0−0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
= lim
t→−∞
5
t
− 1
7
t
− 1
= 1.
(По свойству показательной функции при a > 1 следует, что
lim
x→−∞
a
t
= 0.) Мы показали, что существуют конечные правый
и левый пределы, но они не равны. Следовательно, предел не
существует.
В математическом анализе важное значение имеют два
класса функций: бесконечно малые и бесконечно большие.
Функция f (x) называется бесконечно малой при x → x
0
, если
lim
x→x
0
f(x) = 0. Функция f(x) называется бесконечно большой
при x → x
0
, если lim
x→x
0
f(x) = −∞, +∞, ∞.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
