Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Числовые и векторные последовательности 49
4.17. Найдите пределы:
а) lim
n→∞
1 + 1/2 + 1/4 + ··· + 1/2
n
1 + 1/3 + 1/9 + ··· + 1/3
n
;
б) lim
n→∞
1 + 2 + 3 + ··· + n
n
2
;
в) lim
n→∞
1 − 2 + 3 − 4 + ··· − 2n
√
n
2
+ 1
;
г) lim
n→∞
µ
1 + 2 + 3 + ··· + n
n + 2
−
n
2
.
Указание. Использовать формулу суммы членов арифметиче-
ской прогрессии a
1
+a
2
+···+a
n
=
(a
1
+ a
n
)n
2
и геометрической
прогрессии a + aq + aq
2
+ ···+ aq
n−1
+ aq
n
+ ··· =
a
1 − q
, |q| < 1.
4.18. Докажите, что если lim
n→∞
x
n
= a и a > p (a < q), то
начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства
x
n
> p (x
n
< q).
4.19. Докажите справедливость неравенства
a
n
>
(a − 1)
2
4
n
2
при любом a > 1 и любом n > 2.
Указание. Использовать формулу бинома Ньютона
(a + b)
n
= a
n
+ na
n−1
b +
n(n − 1)
2!
a
n−2
b
2
+ ···+
+
n(n − 1) ···[n − (n − 1)]
n!
b
n
,
применив её к соотношению a
n
= (1 + λ)
n
(λ > 0).
4.20. Докажите, что lim
n→∞
n
√
n = 1.
Указание. Использовать результаты предыдущей задачи.
4.21. Докажите, что lim
n→∞
log
a
n
n
= 0 (a > 1).

Страницы