ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. Первый замечательный предел 51
5. Первый замечательный предел
Предел вида lim
x→0
sin x
x
= 1 получил название первого заме-
чательного предела. Очевидно, что lim
x→x
0
sin u(x)
u(x)
= 1, где u(x)
— любая функция, такая, что lim
x→x
0
u(x) = 0. Действительно,
сделав замену u(x) = t, получим lim
x→x
0
sin u(x)
u(x)
= lim
t→0
sin t
t
= 1.
Обратите внимание на то, что в первом замечательном пределе
раскрывается неопределенность 0/0, причем аргумент синуса
стремится к нулю, и в знаменателе находится точно этот ар-
гумент. Непосредственным следствием первого замечательного
предела являются следующие пределы:
lim
x→0
tg x
x
= 1; lim
x→0
arcsin x
x
= 1; lim
x→0
arctg x
x
= 1.
Действительно,
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
cos x ·
sin x
x
= lim
x→0
cos x · lim
x→0
sin x
x
= 1
(мы использовали теорему о пределе произведения и
непрерывность функции cos x, из которой следует, что
lim
x→0
cos x = cos lim
x→0
x =1).
Для отыскания второго предела сделаем замену arcsin x =
= y, x = sin y. Если x → 0, то y → 0, что следует из непрерыв-
ности функции arcsin x.
Находим
lim
x→0
arcsin x
x
= lim
y→0
y
sin y
= lim
y→0
1
(sin y)/y
= 1.
Аналогично доказывается, что lim
x→0
arctg x
x
= 1 (замена
arctg x = y).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
