Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

52 Введение в математический анализ
5.1. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
sin 5x
x
; б) lim
x→0
sin 3x
tg 5x
; в) lim
x→0
arcsin 3x
arctg 4x
;
г) lim
x→0
1 − cos 2x
x
2
; д) lim
x→2
sin x
x
.
Решение:
а) lim
x→0
sin 5x
x
= lim
x→0
5 sin 5x
5x
= lim
u→0
5 sin u
u
= 5, (u = 5x);
б) lim
x→0
sin 3x
tg 5x
= lim
x→0
sin 3x
3x
· 3
tg 5
x
5x
· 5
=
3
5
;
в) lim
x→0
arcsin 3x
arctg 4x
= lim
x→0
arcsin 3x
3x
· 3
arctg 4x
4x
· 4
=
3
4
;
г) lim
x→0
1 − cos 2x
x
2
= lim
x→0
2 sin
2
x
x
2
= 2 lim
x→0
sin x
x
·
sin x
x
= 2;
д) lim
x→2
sin x
x
=
sin 2
2
.
Многие примеры можно решить проще, если воспользовать-
ся следующим очевидным утверждением.
Если lim
x→x
0
α(x) = 0 и существует lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
, то
lim
x→x
0
sin α(x)
ϕ(x)
= lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
.
Действительно, lim
x→x
0
sin α(x)
ϕ(x)
= lim
x→x
0
sin α(x)
α(x)
α(x)
ϕ(x)
= lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
(по теореме о пределе произведения).
Например:
lim
x→5
sin(x − 5)
x
2
− 6x + 5
= lim
x→5
x − 5
x
2
− 6x + 5
= lim
x→5
x − 5
(x − 5)(x − 1)
=
1
4
.

Страницы