Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5. Первый замечательный предел 53
5.2. Найдите следующие пределы, сделав подходящую
замену:
а) lim
x→π
sin 3x
sin 2x
; б) lim
x→π/4
cos x − sin x
cos 2x
; в) lim
x→π/6
sin (x − π/6)
√
3/2 − cos x
.
Решение: а) поскольку непосредственное применение перво-
го замечательного предела невозможно, так как аргумент си-
нуса не стремится к нулю, то сделаем замену x = y + π. Когда
x → π , то y → 0. Теперь
lim
x→π
sin 3x
sin 2x
= lim
y→0
sin(3y + 3π)
sin(2y + 2π)
= lim
y→0
−sin 3y
sin 2y
= −
3
2
;
б) используем формулу тригонометрии cos x − sin x =
=
√
2 sin
µ
π
4
− x
, затем делаем замену y =
π
4
− x, x =
π
4
− y.
Имеем lim
x→π/4
cos x − sin x
cos 2x
= lim
x→π/4
√
2 sin
µ
π
4
− x
cos 2x
=
= lim
y→0
√
2 sin y
cos
µ
π
2
− 2y
= lim
y→0
√
2 sin y
sin 2y
=
√
2
2
;
в) lim
x→π/6
sin
µ
x −
π
6
√
3
2
− cos x
= lim
x→π/6
sin
µ
x −
π
6
cos
π
6
− cos x
=
= lim
x→π/6
sin
µ
x −
π
6
2 sin
µ
x + π/6
2
sin
µ
x − π/6
2
=
= lim
y→0
sin y
2 sin
µ
y + π/3
2
sin
y
2
=
= lim
y→0
y
2 sin
µ
y
2
+
π
6
sin
y
2
= 2.

Страницы