Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

56 Введение в математический анализ
6.1. Докажите справедливость следующих утверждений:
а) если lim
x→x
0
α(x) = 0, то
lim
x→x
0
[1 + α(x)]
1
α(x)
= e; (1)
б) если lim
x→x
0
α(x) = 0 и lim
x→x
0
α(x)ϕ(x) существует, то
lim
x→x
0
[1 + α(x)]
ϕ(x)
= e
lim
x→x
0
α(x)ϕ(x)
; (2)
в) если lim
x→x
0
f(x) = 1 и lim
x→x
0
[f(x) − 1]ϕ(x) существует, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= e
lim
x→x
0
[f(x)−1]ϕ(x)
. (3)
Действительно, положив в (1) α(x) = t, получим:
lim
x→x
0
[1 + α(x)]
1
α(x)
= lim
t→0
(1 + t)
1
t
= e.
Соотношение (2) следует из (1), так как
lim
x→x
0
[1 + α(x)]
ϕ(x)
= lim
x→x
0
·
(1 + α(x))
1
α(x)
¸
α(x)ϕ(x)
= e
lim
x→x
0
α(x)ϕ(x)
.
Последняя операция является следствием непрерывности экс-
поненты, строгое обоснование мы опускаем.
Если lim
x→x
0
f(x) = 1, то lim
x→x
0
α(x) = lim
x→x
0
[f(x) − 1] = 0 и
утверждение (3) следует из (2) при α(x) = f(x) − 1.
Заметим, что во втором замечательном пределе раскрыва-
ется неопределенность типа 1
∞
. Обратим внимание на то, что
lim
x→x
0
1
ϕ(x)
= 1. Этот предел не содержит никакой неопределен-
ности и в случае, если lim
x→x
0
ϕ(x) = ∞, что следует из опреде-
ления предела на языке последовательностей.
В следующей задаче рассмотрены случаи, когда
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
неопределенности не содержит.
6.2. Докажите справедливость следующих утверждений:
а) если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x
0
и
f(x) > 0, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= f(x
0
)
ϕ(x
0
)
; (4)

Страницы