Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6. Второй замечательный предел 57
б) если либо lim
x→x
0
f(x) = q < 1, lim
x→x
0
ϕ(x) = +∞, либо
lim
x→x
0
f(x) = q > 1, но lim
x→x
0
ϕ(x) = −∞, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= 0; (5)
в) если либо lim
x→x
0
f(x) = q < 1, lim
x→x
0
ϕ(x) = −∞, либо
lim
x→x
0
f(x) = q > 1, но lim
x→x
0
ϕ(x) = +∞, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= ∞. (6)
Справедливость соотношения (4) следует из непрерывности
степенно-показательной функции. Доказательство формул (5)
и (6) опустим. (Интуитивно они очевидны.)
Формулы (1) — (3) и (4) — (6) справедливы и при
x → ∞, −∞, +∞.
Предел lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
может привести также к неопределен-
ностям 0
0
, ∞
0
, которые мы рассмотрим позднее.
6.3. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
Ã
1 +
x
2
+ 3x
x + 1
!
2
x
; б) lim
x→∞
µ
1 +
1
2x + 1
x
;
в) lim
x→∞
µ
1 +
1
x
2
+ 1
x+1
; г) lim
x→−∞
µ
1 +
1
x + 1
x
2
+1
.
Решение: а) так как lim
x→0
Ã
x
2
+ 3x
x + 1
!
= 0, то можем поло-
жить в соответствии с (2) α(x) =
x
2
+ 3x
x + 1
, ϕ(x) =
2
x
. Получаем
lim
x→0
Ã
1 +
x
2
+ 3x
x + 1
!
2
x
= e
lim
x→0
x
2
+3x
x+1
2
x
= e
lim
x→0
2(x+3)
x+1
= e
6
;
б) полагаем в соотношении (2) α(x) =
1
2x + 1
, что возмож-
но, так как lim
x→∞
α(x) = 0. Получаем
lim
x→∞
µ
1 +
1
2x + 1
x
= e
lim
x→∞
1
2x+1
x
= e
1
2
=
√
e;
в) lim
x→∞
µ
1 +
1
x
2
+ 1
x+1
= e
lim
x→∞
x+1
x
2
+1
= e
0
= 1;

Страницы