Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58 Введение в математический анализ
г) lim
x→−∞
µ
1 +
1
x + 1
x
2
+1
= e
lim
x→−∞
x
2
+1
x+1
= 0, так как
lim
x→−∞
x
2
+ 1
x + 1
= lim
x→−∞
x + 1/x
1 + 1/x
= −∞.
Все четыре рассмотренных предела содержат неопределён-
ность 1
∞
. Раскрывая эту неопределённость, можно получить
самые разнообразные ответы, включая 0, 1 и ∞.
6.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→∞
µ
x + 2
x + 3
x+4
; б) lim
x→5
µ
x − 3
4x − 18
2
5−x
.
Решение: а) так как lim
x→∞
x + 2
x + 3
= 1, то имеем право приме-
нить формулу (3), положив в ней f(x) =
x + 2
x + 3
, ϕ(x) = x + 4.
Получаем
lim
x→∞
µ
x + 2
x + 3
x+4
= (1
∞
) = e
lim
x→∞
(
x+2
x+3
−1
)
(x+4)
=
= e
lim
x→∞
−(x+4)
x+3
= e
−1
= 1/e;
б) поскольку lim
x→5
x − 3
4x − 18
= 1, то также применима формула
(3). Находим
lim
x→5
µ
x − 3
4x − 18
2
5−x
= (1
∞
) = e
lim
x→5
(
x−3
4x−18
−1
)
2
5−x
=
= e
lim
x→5
(15−3x)·2
(5−x)(4x−18)
= e
3
.
6.5. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→1
(x
2
+ 2)
x
3
+1
; б) lim
x→−∞
µ
2x + 3
x + 1
x−2
;
в) lim
x→−∞
µ
4x + 1
8x + 5
x
3
; г) lim
x→+∞
Ã
4x
2
+ 1
5x
2
+ 2
!
x
2
+1
x
.
Решение: а) так как lim
x→1
(x
2
+2) = 3, lim
x→1
(x
3
+1) = 2 и функ-
ции f(x) = x
2
+ 2, ϕ(x) = x
3
+ 1 непрерывны в точке x = 1, то
lim
x→1
(x
2
+ 2)
x
3
+1
= 3
2
= 9 (см. (4));

Страницы