Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Следствия второго замечательного предела 61
cth x =
ch x
sh x
=
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
— гиперболический котангенс.
Функции sh x, ch x, th x, cth x называют гиперболическими.
Находят применение и функции, обратные гиперболическим:
arsh x, arch x, arth x, arcth x.
6.9. Докажите:
а) ch
2
x − sh
2
x = 1;
б) ch(−x) = ch x;
в) sh(−x) = −sh x;
г) sh(x ± y) = sh x ch y ±ch x sh y;
д) ch(x ± y) = ch x ch y ±sh x sh y;
е) sh x + sh y = 2 sh
x + y
2
ch
x − y
2
;
ж) sh x − sh y = 2 sh
x − y
2
ch
x + y
2
;
з) ch x + ch y = 2 ch
x + y
2
ch
x − y
2
;
и) ch x − ch y = 2 sh
x + y
2
sh
x − y
2
.
Как видим, гиперболические функции по свойствам очень
напоминают тригонометрические функции. Гиперболические
функции применяются во многих задачах, в частности при по-
строении неевклидовых геометрий.
7. Следствия второго замечательного предела
Используя непрерывность показательной и логарифмиче-
ской функций, легко доказать равенства:
1) lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e, lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1;
2) lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1;
3) lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ.
Заметим, что во всех этих пределах имеется неопределён-
ность типа 0/0.

Страницы