Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Следствия второго замечательного предела 63
Использовали формулу (1) и теорему о пределе произведе-
ния. Утверждение (7) доказывается аналогично.
Если окажется, что предел lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
не существует, то
пределы (6) и (7) также не существуют.
7.3. Докажите, что если lim
x→x
0
α(x) = 0 и существует
lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
, то
lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
ϕ(x)
= ln a · lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
; (8)
lim
x→x
0
e
α(x)
− 1
ϕ(x)
= lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
. (9)
Решение. lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
ϕ(x)
= lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
·
α(x)
ϕ(x)
=
= lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
· lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
= ln a · lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
.
При этом мы использовали формулу (3) и теорему о пре-
деле произведения. Соотношение (8) доказано. Равенство (9)
следует из (8) при a = e.
В задачах 7.2 и 7.3 случаи x → ∞, −∞, +∞ не исключа-
ются. Заметим, что если lim
x→x
0
ϕ(x) = A, A 6= 0, то в пределах
задач 7.2 и 7.3 неопределённости нет и соответствующие пре-
делы будут равняться нулю. Если lim
x→x
0
ϕ(x) не существует, но
функция ψ(x) =
1
ϕ(x)
ограничена в окрестности x
0
, то соот-
ветствующие пределы также будут равны нулю по теореме о
произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.
Как видим, пределы (6), (7), (8) и (9) содержат неопреде-
лённость типа 0/0 только при lim
x→x
0
ϕ(x) = 0.
При решении примеров с использованием следствий из вто-
рого замечательного предела можно либо использовать задачи

Страницы