Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Следствия второго замечательного предела 65
б) lim
x→1
ln(x
2
+ 4x − 4)
x − 1
= lim
x→1
x
2
+ 4x − 4 − 1
x − 1
=
= lim
x→1
x
2
+ 4x − 5
x − 1
= lim
x→1
(x − 1)(x + 5)
x − 1
= 6,
в этом примере можно положить f(x) = x
2
+ 4x − 4, так как
lim
x→1
(x
2
+ 4x − 4) = 1, и применить формулу (6);
в) lim
x→∞
x · ln
µ
1 + tg
5
x
= lim
x→∞
ln
µ
1 + tg
5
x
1
x
=
= lim
x→∞
tg
5
x
1
x
= lim
t→0
tg 5t
t
= 5,
где t =
1
x
, α(x) = tg
5
x
, α(x) → 0 при x → ∞, ϕ(x) =
1
x
.
7.6. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→3
3
x
− 27
x
2
− 9
; б) lim
x→1
e
x
2
−1
− 1
√
x − 1
; в) lim
x→0
e
sin
2
x
− 1
√
4 + x
2
− 2
.
Решение. а) lim
x→3
3
x
− 27
x
2
− 9
= lim
x→3
3
x
− 3
3
x
2
− 9
=
= lim
x→3
3
3
(3
x−3
− 1)
(x − 3)(x + 3)
= 3
3
ln 3 · lim
x→3
1
(x + 3)
=
27
6
ln 3 =
9
2
ln 3;
б) lim
x→1
e
x
2
−1
− 1
√
x − 1
= lim
x→1
x
2
− 1
√
x − 1
= lim
x→1
(x
2
− 1)(
√
x + 1)
(
√
x − 1)(
√
x + 1)
=
= lim
x→1
(x − 1)(x + 1)(
√
x + 1)
x − 1
= 4.
Здесь α(x) = x
2
− 1, ϕ(x) =
√
x − 1;
в) lim
x→0
e
sin
2
x
− 1
√
4 + x
2
− 2
= lim
x→0
sin
2
x
√
4 + x
2
− 2
=
= lim
x→0
(
√
4 + x
2
+ 2) sin
2
x
4 + x
2
− 4
= lim
x→0
sin
2
x
x
2
(
p
4 + x
2
+ 2) = 4.

Страницы