Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

66 Введение в математический анализ
7.7. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
cos
µ
x − 1
x
2
; б) lim
x→0
√
1 + x −
3
√
1 + x
x
.
Решение: а) обозначим f(x) = cos x. Так как lim
x→0
f(x) =
= lim
x→0
cos x = 1, то можем применить формулу (7). Получаем
lim
x→0
cos
µ
x − 1
x
2
= µ lim
x→0
cos x − 1
x
2
= µ lim
x→0
−2 sin
2
x
2
x
2
= −
µ
2
;
б) lim
x→0
√
1 + x −
3
√
1 + x
x
=
= lim
x→0
√
1 + x − 1
x
− lim
x→0
3
√
1 + x − 1
x
=
1
2
− 13 =
1
6
(так как lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ).
7.8. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→2
e
x
− e
2
ln(x
2
− 5x + 7)
; б) lim
x→0
ln cos ax
ln cos bx
.
Решение. а) lim
x→2
e
x
− e
2
ln(x
2
− 5x + 7)
=
= lim
x→2
e
2
(e
x−2
− 1)
ln[1 + (x
2
− 5x + 6)]
= e
2
lim
x→2
(x − 2)
(x − 2)(x − 3)
= −e
2
;
б) lim
x→0
ln cos ax
ln cos bx
= lim
x→0
cos ax − 1
cos bx − 1
= lim
x→0
−2 sin
2
ax
2
−2 sin
2
bx
2
=
a
2
b
2
.
Задачи для самостоятельного решения
7.9. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
log
3
(1 + 4x)
x
; б) lim
x→0
2
5x
− 1
x
;
в) lim
x→0
5
√
1 + 3x − 1
x
; г) lim
x→0
lg(1 + 5x)
x
;
д) lim
x→0
e
3x
− 1
x
; е) lim
x→0
(1 + 2x)
2/3
− 1
x
.

Страницы