Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64 Введение в математический анализ
7.1—7.3, либо делать преобразования в каждом отдельном слу-
чае, подобно тому как это сделано в задачах 7.1—7.3 в общем
случае.
7.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
log
a
(1 + tg
3
x)
tg
3
x
; б) lim
x→0
3
sin
2
x
− 1
sin
2
x
;
в) lim
x→0
3
p
1 + sin
3
x − 1
sin
3
x
.
Решение: а) все предложенные пределы являются частным
случаем пределов, рассмотренных в задаче 7.1. Можно поло-
жить α(x) = tg
3
x, так как lim
x→0
tg
3
x = 0, поэтому
lim
x→0
log
a
(1 + tg
3
x)
tg
3
x
= log
a
e;
б) в этом случае α(x) = sin
2
x, так как sin
2
x → 0 при x → 0.
Поэтому lim
x→0
3
sin
2
x
− 1
sin
2
x
= ln 3 (см. (3));
в) на основании предела (5) получаем
lim
x→0
3
p
1 + sin
3
x − 1
sin
3
x
=
1
3
(здесь α(x) = sin
3
x и sin
3
x → 0 при x → 0).
7.5. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
1
x
ln
1 + 5x
1 + 4x
; б) lim
x→1
ln(x
2
+ 4x − 4)
x − 1
;
в) lim
x→∞
x · ln
µ
1 + tg
5
x
.
Решение: а) положим f(x) =
1 + 5x
1 + 4x
, lim
x→0
f(x) = 1, ϕ(x) =
= x. На основании формулы (6) получаем
lim
x→0
1
x
ln
1 + 5x
1 + 4x
= log
e
e·lim
x→0
1 + 5x
1 + 4x
− 1
x
= lim
x→0
x
x(1 + 4x)
= 1;

Страницы