Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

62 Введение в математический анализ
7.1. Докажите, что если lim
x→x
0
α(x) = 0, то существуют
пределы:
lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
= log
a
e; (1)
lim
x→x
0
ln[1 + α(x)]
α(x)
= 1; (2)
lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
= ln a; (3)
lim
x→x
0
e
α(x)
− 1
α(x)
= 1; (4)
lim
x→x
0
[1 + α(x)]
µ
− 1
α(x)
= µ. (5)
Решение. Сделаем замену в (1) α(x) = t. Если x → x
0
, то
t → 0. Получаем
lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
= lim
t→0
log
a
(1 + t)
t
= log
a
e
по первому следствию из второго замечательного предела.
Аналогично доказываются соотношения (2)—(5).
Формулы (1) — (5) сохраняются и при x → ±∞, ∞.
7.2. Докажите, что если lim
x→x
0
f(x) = 1 и существует
lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
, то верны следующие соотношения:
lim
x→x
0
log
a
f(x)
ϕ(x)
= log
a
e · lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
; (6)
lim
x→x
0
[f(x)]
µ
− 1
ϕ
(
x
)
= µ · lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ
(
x
)
. (7)
Решение. Так как lim
x→x
0
f(x) = 1, то lim
x→x
0
α(x) =
= lim
x→x
0
[f(x) − 1] = 0. Можем записать f(x) = 1 + α(x). Те-
перь
lim
x→x
0
log
a
f(x)
ϕ(x)
= lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
·
α(x)
ϕ(x)
=
= lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
· lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
= log
a
e· lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
.

Страницы