ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8. Сравнение бесконечно малых 69
бесконечно малая при x → 2, а поскольку |f
2
(x)| ≤ 1 при любом
x, то функция f(x) бесконечно малая по теореме о произведе-
нии бесконечно малой и ограниченной функций.
8.2. Докажите, что следующие функции являются беско-
нечно большими:
а) ϕ
1
(x) =
x
2
+ 4
(x −1)
2
при x → 1,
б) ϕ
2
(x) =
1
(x −2)
3
sin
2
1
x −2
при x → 2.
Решение. В задаче 8.1 мы показали, что функции f(x) =
=
1
ϕ
1
(x)
и f(x) =
1
ϕ
2
(x)
являются бесконечно малыми при
x → 1 и x → 2 соответственно. По теореме о связи между беско-
нечно малыми и бесконечно большими функции ϕ
1
(x) и ϕ
2
(x)
являются бесконечно большими.
Пусть функции α(x) и β(x) бесконечно малые при x → x
0
.
Если lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= C, то при C 6= 0, C 6= ∞ функции α(x) и
β(x) называются бесконечно малыми одного порядка мало-
сти. В частности, при C = 1 они называются эквивалентными.
В этом случае пишут α(x) ∼ β(x). Если C = 0, то говорят, что
бесконечно малая α(x) имеет более высокий порядок малости
по сравнению с β(x), а при C = ∞ — бесконечно малая α(x)
имеет более низкий порядок малости по сравнению с β(x). Ес-
ли этот предел не существует, то бесконечно малые называются
несравнимыми.
Если lim
x→x
0
α(x)
[β(x)]
r
= C, C 6= 0, C 6= +∞, r > 0, то беско-
нечно малая α(x) называется бесконечно малой порядка r отно-
сительно бесконечно малой β(x). При этом бесконечно малая
C[β(x)]
r
называется главной частью бесконечно малой α(x).
Заметим, что α(x) ∼ C[β(x)]
r
. Обычно в качестве β(x) берут
бесконечно малую (x −x
0
).
Аналогично сравнивают и бесконечно большие функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
