Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70 Введение в математический анализ
8.3. Докажите, что функция f(x) = tg(x − 1)
3
имеет более
высокий порядок малости при x → 1 по сравнению с функцией
α(x) = x −1.
Решение. Находим lim
x→1
tg(x − 1)
3
x − 1
= lim
x→1
tg(x − 1)
3
(x − 1)
3
(x −
−1)
2
= 0, так как lim
x→1
tg(x − 1)
3
(x − 1)
3
= 1. Следовательно, по опре-
делению функция f(x) бесконечно малая более высокого по-
рядка по сравнению c β(x) = x − 1.
8.4. Докажите, что функция f(x) =
√
tg x при x → 0 + 0
имеет более низкий порядок малости по сравнению с α(x) = x.
Решение. Находим lim
x→0+0
√
tg x
x
= lim
x→0+0
r
tg x
x
·
1
√
x
= +∞,
так как lim
x→0+0
r
tg x
x
= 1, а lim
x→0+0
1
√
x
= +∞.
8.5. Докажите, что бесконечно малые
f(x) =
p
4 + (x − 2)
2
− 2 и α(x) = (x − 2)
2
имеют одинаковый
порядок малости при x → 2.
Решение. Находим lim
x→2
p
4 + (x − 2)
2
− 2
(x − 2)
2
=
= lim
x→2
4 + (x − 2)
2
− 4
(x − 2)
2
(
p
4 + (x − 2)
2
+ 2)
=
1
4
.
По определению бесконечно малые f(x) и α(x) одного порядка
малости.
8.6. Найдите порядок малости и главную часть бесконечно
малой α(x) = sin 2x − 2 sin x относительно β(x) = x.
Решение. Согласно определению порядка малости нужно
найти такое значение r, чтобы предел lim
x→0
sin 2x − 2 sin x
x
r
был
конечным и отличным от нуля. Преобразуем числитель:
sin 2x − 2 sin x = 2 sin x cos x − 2 sin x = 2 sin x(cos x − 1) =
= −4 sin x sin
2
x
2
.

Страницы