Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

72 Введение в математический анализ
то есть α(x) — бесконечно малая при x → ∞. Для определения
ее порядка малости относительно β(x) нужно найти значение
r, при котором lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
1/x
r
конечен и отличен от нуля.
После несложных преобразований, только что проделанных,
находим
lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
1/x
r
= lim
x→∞
x
r
√
x
4
+ 1 + x
2
=
= lim
x→∞
x
r
x
2
³
p
1 + 1/x
4
+ 1
´
= lim
x→∞
x
r−2
p
1 + 1/x
4
+ 1
.
Видим, что предел конечен и не равен нулю только при r = 2,
т.е. порядок малости равен 2. При r = 2 этот предел равен
C = 1/2. Поэтому главная часть γ(x) =
1
2x
2
.
Понятие эквивалентности бесконечно малых находит ши-
рокое применение как в приближенных вычислениях, так и в
теоретических вопросах. Использование этого понятия значи-
тельно упрощает отыскание некоторых пределов.
Можем составить следующую таблицу эквивалентных бес-
конечно малых. Через α(x) обозначена бесконечно малая при
x → x
0
или x → ∞, ±∞:
1) sin α(x) ∼ α(x); 2) tg α(x) ∼ α(x);
3) arcsin α(x) ∼ α(x); 4) arctg α(x) ∼ α(x);
5) log
a
(1 + α(x)) ∼ (log
a
e)α(x); 6) ln[1 + α(x)] ∼ α(x);
7) a
α(x)
− 1 ∼ α(x) ln a, a > 0, a 6= 1;
8) e
α(x)
− 1 ∼ α(x); 9) [1 + α(x)]
µ
− 1 ∼ µα(x);
10)
n
p
1 + α(x) − 1 ∼
α(x)
n
; 11) 1 − cos α(x) ∼
1
2
α
2
(x).
При отыскании пределов, содержащих неопределённость
0/0, используется свойство эквивалентных бесконечно малых
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
,

Страницы