Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8. Сравнение бесконечно малых 73
где α(x) ∼ α
1
(x), β(x) ∼ β
1
(x), т.е. предел отношения бес-
конечно малых равен пределу отношения эквивалентных им
бесконечно малых.
8.9. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквива-
лентными, найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
sin 8x
ln(1 + 2x)
; б) lim
x→1
e
4(x−1)
− 1
ln[1 + tg 2(x − 1)]
;
в) lim
x→2
arcsin 3(x − 2)
arctg 4(x
2
− 4)
; г) lim
x→0
tg 3x + arcsin
2
x + x
3
2x
;
д) lim
x→0
1 − cos 2x
1 − cos
x
4
; е) lim
x→0
3 sin x − x
2
+ x
3
tg 2x + 2 sin
2
x + 5x
4
;
ж) lim
x→0
ln cos x
4
√
1 + x
2
− 1
; з) lim
x→0
√
1 + x + x
2
− 1
sin 4x
.
Решение: а) по таблице эквивалентных бесконечно малых
sin 8x ∼ 8x, ln(1 + 2x) ∼ 2x, поэтому lim
x→0
sin 8x
ln(1 + 2x)
= 4;
б) так как e
4(x−1)
− 1 ∼ 4(x − 1) при x → 1,
ln (1 + tg 2(x − 1)) ∼ tg 2(x − 1) ∼ 2(x − 1), то
lim
x→1
e
4(x−1)−1
ln (1 + tg 2(x − 1))
= lim
x→1
4(x − 1)
2(x − 1)
= 2;
в) поскольку arcsin 3(x − 2) ∼ 3(x − 2), arctg 4(x
2
− 4) ∼
∼ 4(x
2
− 4) при x → 2, то
lim
x→2
arcsin 3(x − 2)
arctg 4(x
2
− 4)
= lim
x→2
3(x − 2)
4(x
2
− 4)
=
= lim
x→2
3(x − 2)
4(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
3
4(x + 2)
=
3
16
;
г) так как сумма бесконечно малых функций эквивалентна
слагаемому, имеющему наименьший порядок малости, то мо-
жем записать: tg 3x + arcsin
2
x + x
3
∼ tg 3x ∼ 3x. Поэтому
lim
x→0
tg 3x + arcsin
2
x + x
3
2x
= lim
x→0
3x
2x
=
3
2
;

Страницы