Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

74 Введение в математический анализ
д) так как 1 − cos 2x ∼ 2x
2
, 1 − cos
x
4
∼
1
32
x
2
, то
lim
x→0
1 − cos 2x
1 − cos
x
4
= lim
x→0
2x
2
(1/32)x
2
= 64;
е) имеем 3 sin x − x
2
+ x
3
∼ 3 sin x ∼ 3x, tg 2x + 2 sin
2
x +
+5x
4
∼ tg 2x ∼ 2x, поэтому
lim
x→0
3 sin x − x
2
+ x
3
tg 2x + 2 sin
2
x + 5x
4
= lim
x→0
3x
2x
=
3
2
;
ж) можем записать ln cos x = ln[1 + (cos x −1)] ∼ cos x −1 ∼
∼ −
1
2
x
2
,
4
√
1 + x
2
− 1 ∼
1
4
x
2
при x → 0, поэтому
lim
x→0
ln cos x
4
√
1 + x
2
− 1
= lim
x→0
(−1/2)x
2
(1/4)x
2
= −2;
з) так как
√
1 + x + x
2
− 1 ∼
1
2
(x + x
2
) ∼
1
2
x, sin 4x ∼ 4x
при x → 0, то lim
x→0
√
1 + x + x
2
− 1
sin 4x
= lim
x→0
(1/2)x
4x
=
1
8
.
Применяя метод замены бесконечно малых им эквивалент-
ными, можно в некоторых случаях упростить процесс выделе-
ния главной части бесконечно малых.
8.10. Выделите главную часть вида γ(x) = C(x − x
0
)
r
сле-
дующих бесконечно малых при x → x
0
:
а) α
1
(x) =
tg
2
(x + 2)
arcsin(
√
2 − x − 2)
, x
0
= −2;
б) α
1
(x) =
9(x + 1)
x
2
− 9
+
x
x + 3
, x
0
= −3.
Решение: а) подберём такие значения C и r, чтобы был рав-
ным единице lim
x→−2
α
1
(x)
C(x + 2)
r
. Так как tg
2
(x + 2) ∼ (x + 2)
2
,
arcsin(
√
2 − x − 2) ∼ 2
Ã
r
1 −
x + 2
4
− 1
!
∼ −
x + 2
4
, то
lim
x→−2
tg
2
(x + 2)
h
arcsin(
√
2 − x − 2)
i
C(x + 2)
r
= lim
x→−2
−4(x + 2)
2
(x + 2)C(x + 2)
r
.
Видим, что r = 1, C = −4, т.е. γ(x) = −4(x + 2);

Страницы