Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

76 Введение в математический анализ
б) находим r и C из условия, что lim
x→∞
x
r
α
2
(x)
C
= 1,
или lim
x→∞
x
r
(e
2/x
− 1)
C(x
5
+ 1)
= lim
x→∞
x
r
· 2/x
C(1 + 1/x
5
)x
5
=
= lim
x→∞
2x
r−6
C(1 + 1/x
5
)
=
2
C
при r = 6.
Так как по условию
2
C
= 1, то C = 2. Функция γ(x) =
2
x
6
является главной частью бесконечно малой α
2
(x).
Мы в основном занимались бесконечно малыми величина-
ми. По теореме о связи между бесконечно большими и беско-
нечно малыми величинами изучение бесконечно большой ве-
личины y(x) при x → x
0
можно свести к изучению бесконечно
малой α(x) =
1
y(x)
при x → x
0
.
8.12. Выделите главную часть вида γ(x) =
C
(x − 2)
r
бес-
конечно большой величины y =
4
(
√
5 − 2x − 1) ln(3 − x)
при
x → 2.
Решение. Согласно сделанному замечанию мы можем све-
сти задачу к бесконечно малым либо исходить из определения
главной части бесконечно больших. По этому определению мы
должны найти такие константы C и r, чтобы предел lim
x→2
y
γ(x)
был равен единице. По таблице эквивалентных бесконечно ма-
лых находим
√
5 − 2x − 1 =
p
1 − 2(x − 2) − 1 ∼ −(x − 2),
ln(3 − x) = ln[1 − (x − 2)] ∼ −(x − 2). Поэтому
lim
x→2
y
γ(x)
= lim
x→2
4
h
(
√
5 − 2x − 1) ln(3 − x)
i
/(C/(x − 2)
r
)
=
= lim
x→2
4(x − 2)
r
(x − 2)
2
C
.
Отсюда следует, что этот предел равен единице только при
r =2, C =4. Следовательно, функция γ(x) =
4
(x − 2)
2
является
главной частью бесконечно большой y(x) при x → 2.

Страницы