Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8. Сравнение бесконечно малых 77
При x → ∞, −∞, +∞ в качестве эталонной, как мы уже
отмечали, берут величину β(x) = 1/x, а для бесконечно боль-
ших — величину y(x) = x. Все остальные действия ничем не
отличаются от действий в рассмотренных примерах.
8.13. Докажите, что функция f(x, y) =
x
4
+ y
4
x
2
+ y
2
является
бесконечно малой при M(x, y) → O(0, 0).
Решение. В полярных координатах x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Когда (x, y) → (0, 0), r → 0. Находим
lim
(x,y)→(0,0)
x
4
+ y
4
x
2
+ y
2
= lim
r→0
r
4
(cos
4
ϕ + sin
4
ϕ)
r
2
=
= lim
r→0
r
2
(cos
4
ϕ + sin
4
ϕ) = 0, поскольку cos
4
ϕ + sin
4
ϕ ≤ 2.
Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функций
определены для векторных функций. Функция
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
α
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
α
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
··················
α
m
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
называется бесконечно малой при
M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) → M
0
(x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
),
если |f| =
q
α
2
1
+ α
2
2
+ ··· + α
2
m
есть функция бесконечно малая
при M → M
0
, и бесконечно большой, если |f| — бесконечно
большая функция. Если функция f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) бесконечно
малая при M → M
0
, то все ее координатные функции α
i
также
бесконечно малые. Если же f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) бесконечно боль-
шая, то хотя бы одна из ее координатных функций является
бесконечно большой. Например, функция f(t) =
t
t − 1
t
2
t
2
+ 1
является бесконечно малой при t → 0 и бесконечно большой
при t → 1.

Страницы