Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8. Сравнение бесконечно малых 75
б) убедимся, что функция α
2
(x) =
9(x + 1)
x
2
− 9
+
x
x + 3
является
бесконечно малой при x → −3. Можем записать
α
2
(x) =
9(x + 1) + x(x − 3)
x
2
− 9
=
x
2
+ 6x + 9
x
2
− 9
=
=
(x + 3)
2
(x + 3)(x − 3)
=
x + 3
x − 3
при x 6= −3.
Отсюда следует, что lim
x→−3
α
2
(x) = 0. Находим, что
lim
x→−3
x + 3
(x − 3)C(x + 3)
r
= 1 только при r = 1, C = −
1
6
, т. е.
γ(x) = −
1
6
(x + 3).
8.11. Выделите главную часть вида γ(x) =
C
x
k
следующих
бесконечно малых функций при x → ∞ (или ±∞):
а) α
1
(x) =
12x − 1
√
9x
6
+ 1 − x
; б) α
2
(x) =
e
2/x
− 1
x
5
+ 1
.
Решение: а) требуется найти такие C и r, чтобы
lim
x→∞
x
r
α
1
(x)
C
был равен 1. Имеем
lim
x→∞
(12x − 1)x
r
C(
√
9x
6
+ 1 − x)
= lim
x→∞
(12x − 1)x
r
C[|x
3
|
p
9 + (1/x
6
) − x]
=
= lim
x→∞
x [12 − (1/x)] x
r
C
h
|x
3
|
p
9 + (1/x
6
) − x
i
=
= lim
x→∞
(12 − (1/x))x
r−2
±C
h
p
9 + (1/x
6
) − (1/x
2
)
i
.
При x → +∞ нужно взять знак «+», а при x → −∞ — знак
«−». Видим, что предел конечен только при r = 2, при этом он
равен ±
12
3C
. Так как должно быть ±
12
3C
= 1, то C = ±4. Итак,
главная часть равна γ(x) = ±
4
x
2
при x → ±∞;

Страницы