Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8. Сравнение бесконечно малых 71
Поэтому
lim
x→0
sin 2x − 2 sin x
x
r
= lim
x→0
−4 sin x · sin
2
x
2
x
r
=
= lim
x→0
−4 sin x
x
sin
2
x
2
x
2
2
2
· 4x
r−3
= lim
x→0
−1
x
r−3
.
Видим, что предел будет конечным только при r = 3, так как
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
sin
2
x
2
x
2
4
= 1. При r = 3 имеем
lim
x→0
sin 2x − 2 sin x
x
3
= −1.
Вывод: порядок малости величины α(x) = sin 2x − 2 sin x от-
носительно β(x) = x равен трем, а её главная часть равна
γ(x) = −x
3
при x → 0.
8.7. Докажите, что бесконечно малая α(x) = 3 sin
4
x − x
5
имеет порядок малости относительно β(x) = x, равный 4, а ее
главная часть равна γ(x) = 3x
4
.
Решение. Имеем lim
x→0
3 sin
4
x − x
5
3x
4
= lim
x→0
Ã
sin
4
x
x
4
−
x
3
!
= 1.
Отсюда и следует справедливость утверждения задачи.
При x → ∞, −∞, +∞ в качестве эталонной бесконечно ма-
лой обычно берут β(x) =
1
x
.
8.8. Докажите, что функция α(x) =
√
x
4
+ 1 −x
2
является
бесконечно малой при x → ∞, найдите ее порядок малости
относительно β(x) = 1/x и главную часть.
Решение. Находим
lim
x→∞
³
√
x
4
+ 1 − x
2
´
= lim
x→∞
³
√
x
4
+ 1 − x
2
´³
√
x
4
+ 1 + x
2
´
√
x
4
+ 1 + x
2
=
= lim
x→∞
1
√
x
4
+ 1 + x
2
= 0,

Страницы