Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82 Введение в математический анализ
9. Непрерывность функции. Классификация
разрывов функции
В разделе 3 мы определили понятие непрерывности функ-
ции в точке, привели некоторые свойства непрерывных функ-
ций и использовали их для отыскания пределов. В этом разделе
мы ещё раз займемся понятием непрерывности.
Часто применяется определение непрерывности на языке
приращений.
Пусть функция f (x) определена в точке x
0
и некоторой её
окрестности. Обозначим ∆x = x−x
0
, ∆y = f(x)−f (x
0
). Функ-
ция f(x) называется непрерывной в точке x
0
, если из условия
∆x → 0 следует, что ∆y → 0. Это, очевидно, эквивалентно
условию lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
Пример 1. Исходя из определения, докажем, что функция
y = log
a
x непрерывна в любой точке x
0
> 0.
Докажем сначала непрерывность этой функции в точке
x
0
= 1. Для этого достаточно показать, что lim
x→1
log
a
x = 0.
Пусть U
ε
(0) — произвольная окрестность точки y = 0. Требу-
ется доказать, что существует такая окрестность V (1) точки
x = 1, что для всех x ∈ V (1) выполняется log
a
x ∈ U
ε
(0), т. е.
|log
a
x − 0| < ε, или −ε < log
a
x < ε. Будем считать a > 1,
тогда функция log
a
x возрастает, а потому a
−ε
< x < a
ε
. Так
как a
−ε
< 1, a
ε
> 1 при a > 1, ε > 0, то найденный интервал
является окрестностью точки x = 1, которую можно принять
в качестве V (1). Этим мы доказали, что lim
x→1
log
a
x = 0 = log
a
1,
т. е. функция log
a
x непрерывна в точке x = 1. Пусть теперь
x
0
> 0 любая фиксированная точка. Любую другую точку x
можно записать в виде x = x
0
+ ∆x. Тогда
∆y = log
a
(x
0
+ ∆x) −log
a
x
0
= log
a
µ
1 +
∆x
x
0
.
Функция y = log
a
x непрерывна в точке x = 1. Поэтому если
величина 1 +
∆x
x
0
стремится к единице, что возможно лишь в
случае, когда ∆x → 0, то и величина ∆y → 0.

Страницы