Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

84 Введение в математический анализ
Заметим, что если в предельной точке x
0
функция не опре-
делена, то в ней обязательно имеется разрыв, но в точке раз-
рыва функция может быть и определена.
Задача характеристики точек разрыва сводится к отыска-
нию односторонних пределов или доказательству, что хотя бы
один из них не существует.
9.1. Охарактеризуйте точку x = 2 для функции
f(x) =
x
2
− 4
|x − 2|
.
Решение. Данная функция имеет область определения
(−∞; 2)∪(2; +∞). Точка x
0
= 2 является предельной для обла-
сти определения, в самой точке x
0
= 2 функция не определена.
Вычисляем односторонние пределы:
f(2 + 0) = lim
x→2+0
x
2
− 4
|x − 2|
= lim
x→2+0
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= 4,
поскольку при x > 2 величина |x − 2| = x − 2;
f(2 − 0) = lim
x→2−0
x
2
− 4
|x − 2|
= lim
x→2−0
(x − 2)(x + 2)
−(x − 2)
= −4,
так как если x < 2, то |x − 2| = −(x − 2).
Как видим, существуют конечные правый и левый пределы,
не равные между собой. Поэтому точка x
0
= 2 является точкой
разрыва первого рода.
9.2. Охарактеризуйте точку x
0
= 0 функции
f(x) =
√
1 − cos 2x
x
.
Решение. Точка x = 0 является предельной для области
определения f(x). Находим
f(0 + 0) = lim
x→0+0
√
1 − cos 2x
x
= lim
x→0+0
√
2 sin
2
x
x
=
= lim
x→0+0
√
2|sin x|
x
= lim
x→0+0
√
2 sin x
x
=
√
2.
Заметим, что |sin x| = sin x, если 0 < x < π/2.

Страницы