Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Непрерывность функции 85
f(0 − 0) = lim
x→0−0
√
1 − cos 2x
x
= lim
x→0−0
−
√
2 sin x
x
= −
√
2,
так как |sin x| = −sin x, если −π/2 < x < 0. Поскольку f(0+0)
и f(0 − 0) существуют и конечны, но f(0 + 0) 6= f(0 − 0), то
точка x
0
= 0 является точкой разрыва первого рода.
9.3. Охарактеризуйте точку x
0
= 0 для следующих
функций:
f
1
(x) =
e
3x
− 1
x
;
f
2
(x) =
e
3x
− 1
x
, если x 6= 0,
3, если x = 0;
f
3
(x) =
e
3x
− 1
x
, если x 6= 0,
1, если x = 0.
Решение. Замечаем, что
lim
x→0
f
1
(x) = lim
x→0
f
2
(x) = lim
x→0
f
3
(x) = lim
x→0
e
3x
− 1
x
= 3.
Это означает, что в точке x = 0 для всех трех функций суще-
ствуют конечные, равные между собой левые и правые преде-
лы.
Для функции f
1
(x) имеем f
1
(0 + 0) = f
1
(0 − 0), но в точке
x = 0 функция f
1
(x) не определена, поэтому, согласно опреде-
лению точка x = 0 является точкой устранимого разрыва.
Для функции f
2
(x) имеем f
2
(0 − 0) = f
2
(0 + 0) = f(0) = 3,
т. е. в точке x = 0 функция f
2
(x) непрерывна.
Для функции f
3
(x) имеем f
3
(0 − 0) = f
3
(0 + 0) 6= f
3
(0).
Функция f
3
(x) имеет в точке x = 0 устранимый разрыв. Этот
разрыв можно «устранить», переопределив значение функции
f
3
(x) в точке x = 0, положив f
3
(0) = 3, но тогда функция f
3
(x)
совпадет с f
2
(x).
Подчеркнём, что f
1
(x), f
2
(x) и f
3
(x) — различные функции.

Страницы