Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Непрерывность функции 83
По определению непрерывности функции на языке прира-
щений отсюда следует непрерывность функции y = log
a
x в
точке x
0
при a > 1. Если a < 1, то доказательство аналогично.
Пример 2. Считая доказанной непрерывность функции
y = a
x
в точке x = 0, т. е. что lim
x→0
a
x
= a
0
= 1, докажем
непрерывность функции y = a
x
в любой точке x
0
.
Дадим величине x
0
приращение ∆x. Тогда
∆y = a
x
0
+∆x
− a
x
0
= a
x
0
³
a
∆x
− 1
´
.
Первый множитель постоянен, а второй множитель при
∆x → 0 стремится к нулю, так как из того, что lim
x→0
a
x
= 1,
следует, что lim
∆x→0
a
∆x
= 1. Таким образом, если ∆x → 0, то
∆y → 0. Это и означает непрерывность функции y = a
x
в лю-
бой точке x
0
.
Все определения непрерывности функции справедливы для
любого класса функций.
При классификации разрывов будем заниматься только
функциями f : X ⊂ R → Y ⊂ R.
Точку x
0
, предельную для множества X, называют точ-
кой разрыва функции, если в этой точке нарушается свойство
непрерывности, т. е. либо не выполняются равенства f(x
0
−0) =
= f (x
0
+0) = f(x
0
), где f(x
0
−0) = lim
x→x
0
,x<x
0
f(x) = lim
x→x
0
−0
f(x)
— левый предел, f(x
0
+0) = lim
x→x
0
,x>x
0
f(x) = lim
x→x
0
+0
f(x) — пра-
вый предел функции f(x) при x → x
0
, либо хотя бы один из
элементов данного равенства не существует. В зависимости от
характера нарушения этих равенств различают три вида раз-
рывов:
1) устранимый разрыв — либо f(x
0
−0) = f(x
0
+0) 6= f(x
0
),
либо в точке x
0
функция f(x) не определена, но f(x
0
− 0) =
= f (x
0
+ 0);
2) разрыв первого рода — оба предела f(x
0
−0) и f(x
0
+ 0)
существуют и конечны, но f(x
0
− 0) 6= f(x
0
+ 0);
3) разрыв второго рода — хотя бы один из пределов f(x
0
−0)
или f(x
0
+ 0) не существует или обращается в ∞.

Страницы