ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9. Непрерывность функции 87
9.6. Найдите все точки разрыва и охарактеризуйте их для
следующих функций:
f
1
(x) =
x
2
− 4
x
p
(x − 2)
2
+
e
x
− e
4
x − 4
;
f
2
(x) =
tg x
x
2
− 16
при x ≤ 0,
sin(x − 3)
x
2
− 4x + 3
при x > 0.
Решение. Заметим, что частное от деления двух непрерыв-
ных функций может иметь разрыв только в тех точках, в ко-
торых знаменатель обращается в нуль. Такими точками для
функции f
1
(x) являются x
1
= 0, x
2
= 2 и x
3
= 4. Исследуем
эти точки.
f
1
(0 ± 0) = lim
x→0±0
Ã
x
2
− 4
x|x − 2|
+
e
x
− e
4
x − 4
!
= ∓∞,
следовательно, в точке x
1
= 0 разрыв второго рода;
f
1
(2 + 0) = lim
x→2+0
Ã
(x − 2)(x + 2)
x(x − 2)
+
e
x
− e
4
x − 4
!
= 2 +
e
2
− e
4
−2
,
так как |x − 2| = (x − 2) при x > 2;
f
1
(2 − 0) = lim
x→2−0
Ã
−
(x − 2)(x + 2)
x(x − 2)
+
e
x
− e
4
x − 4
!
= −2 +
e
2
− e
4
−2
,
так как |x − 2| = −(x − 2) при x < 2. Поскольку f
1
(2 + 0) 6=
6= f
1
(2 − 0), то в точке x
2
= 2 разрыв первого рода;
f
1
(4 ± 0) = lim
x→4±0
Ã
(x
2
− 4)
x|x − 2|
+
e
4
(e
x−4
− 1)
x − 4
!
=
3
2
+ e
4
,
следовательно, в точке x
3
= 4 устранимый разрыв.
Для функции f
2
(x) только в точках x
1
= −4, x
2
= 0,
x
3
= 1, x
4
= 3 возможен разрыв. Исследуем эти точки.
f
2
(−4 ± 0) = lim
x→−4±0
µ
tg x
x
2
− 16
¶
= ∞,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
