Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

86 Введение в математический анализ
9.4. Охарактеризуйте точку x
0
= 1 для функции
f(x) = 2
1
x−1
.
Решение. f(1 − 0) = lim
x→1−0
2
1
x−1
= lim
t→−∞
2
t
= 0
(сделали замену
1
x − 1
= t, когда x → 1 − 0, t → −∞);
f(1 + 0) = lim
x→1+0
2
1
x−1
= lim
t→+∞
2
t
= +∞
(та же замена, но при x → 1 + 0, t → +∞).
Так как один из односторонних пределов обращается в ∞,
то точка x
0
= 0 — точка разрыва второго рода.
Если в точке x
0
функция определена, то вводят понятие од-
носторонней непрерывности. Если окажется f(x
0
− 0) = f(x
0
),
то функцию называют непрерывной в точке x
0
слева, если же
f(x
0
+ 0) = f(x
0
), то функцию называют непрерывной в точке
x
0
справа.
Например, функция ϕ(x) =
(
2
1
x−1
, если x 6= 1,
0, если x = 1,
непре-
рывна в точке x
0
= 1 слева, но разрывна справа.
9.5. Охарактеризуйте точку x
0
= 1 для функции
f(x) =
x + 2
x
2
− 4
, если x ≤ 1,
x + 4
x
2
− 16
, если x > 1.
Решение. Находим односторонние пределы при x → 1 ± 0:
f(1 − 0) = lim
x→1−0
f(x) = lim
x→1
x + 2
x
2
− 4
=
3
−3
= −1;
f(1 + 0) = lim
x→1+0
f(x) = lim
x→1
x + 4
x
2
− 16
=
5
−15
= −
1
3
.
Так как левый и правый пределы существуют, конечны, но не
равны, то точка x
0
= 1 является точкой разрыва первого рода.

Страницы