Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8 Введение в математический анализ
1.3. Докажите справедливость равенства (A + B) · C =
= A · C + B · C для любых множеств A, B, C.
Решение. Два множества D и F называются равными, ес-
ли D ⊂ F и F ⊂ D. По определению соотношение D ⊂ F озна-
чает, что любой элемент x множества D (x ∈ D) принадле-
жит множеству F (x ∈ F ), а из условия F ⊂ D следует, что
если x ∈ F , то x ∈ D. Поэтому для доказательства справедли-
вости равенства (A + B) · C = A · C + B · C надо доказать, что
(A + B) · C ⊂ (A · C + B · C) и (A · C + B · C) ⊂ (A + B) · C.
Докажем первое соотношение. Пусть x ∈ (A + B) · C — лю-
бой элемент. По определению произведения множеств это озна-
чает, что x ∈ (A + B) и x ∈ C. Из определения суммы множеств
и условия x ∈ (A + B) следует, что либо x ∈ A, либо x ∈ B, а
поскольку x ∈ C, то либо x ∈ A · C, либо x ∈ B · C. Поэтому
x ∈ (A · C + B · C). Так как x — любой элемент из (A + B) · C,
то этим мы доказали, что (A + B) · C ⊂ (A · C + B · C).
Докажем второе соотношение. Пусть теперь x — лю-
бой элемент из множества A · C + B ·C. Это означает, что
либо x ∈ A · C, либо x ∈ B · C. Это возможно, если ли-
бо x ∈ A и x ∈ C, либо x ∈ B и x ∈ C, следовательно,
x ∈ (A + B) и x ∈ C, т.е. x ∈ (A + B) · C. Мы доказали, что
(A · C + B · C) ⊂ (A + B) · C. Из доказанных включений следу-
ет, что (A + B) · C = A · C + B · C.
1.4. Докажите, что
¯
A +
¯
B = (A · B).
Решение. Чтобы доказать данное равенство, нужно дока-
зать, что (
¯
A +
¯
B) ⊂ A · B и A · B ⊂ (
¯
A +
¯
B).
Докажем сначала, что (
¯
A +
¯
B) ⊂ A · B. Пусть x ∈
¯
A +
¯
B,
тогда либо x ∈
¯
A, либо x ∈
¯
B, т.е. либо x /∈ A, либо x /∈ B,
следовательно,
x /
∈
A
·
B
, a потому
x
∈ A
·
B
. Так как
x
—
любой элемент из
¯
A +
¯
B, то мы доказали, что (
¯
A +
¯
B) ⊂ A · B.
Пусть теперь x ∈ A ·B. По определению отрицания
x /∈ A · B, т.е. либо x /∈ A, либо x /∈ B, следовательно, либо
x ∈
¯
A, либо x ∈
¯
B, a потому x ∈ (
¯
A +
¯
B). Мы доказали, что
A · B ⊂ (
¯
A +
¯
B). Равенство (
¯
A +
¯
B) = A · B доказано.

Страницы