Основы технической электродинамики. Малков Н.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ε
γ
пр
µ
U U
U
м
ψ
D
I
ψ
в
2
э
2
U
W
ldE
SdD
q
C
L
==
ν
=
∫
∫
P
I
ldE
SdJ
I
R
S
2
пр
1
==
ν
=
∫
∫
2
м
м
2
1Ф
I
W
R
ldH
SdB
I
L
S
====
∫
∫
∫
ν
=
ε
=
V
C
dV
E
W
22
22
э
∫
=γ=
V
RIdVEP
22
пр
∫
=
µ
=
V
LI
dV
H
W
22
22
м
Математическая аналогия дифференциальных уравнений различных потенциальных полей позволя-
ет проводить их моделирование как физическое с использованием, например, метода электромоделиро-
вания в электролитических ваннах или с помощью проводящей бумаги, так и математическое с исполь-
зованием ЭВМ.
2.3 Уравнение Пуассона. Решения для скалярного
и векторного потенциалов
Для расчета полей в однородных средах при известном распределении зарядов или токов в рассмат-
риваемом объеме исходным является уравнение Пуассона (1.18):
ε
ρ
−=ν∇
2
;
пр
2
JA µ−=∇ . (2.8)
Частным решением неоднородного уравнения Пуассона для точечного, объемного ρ, поверхностно-
го σ и линейного τ зарядов является сумма интегралов [9]
∫∫∫
τ
πε
+
σ
πε
+
ρ
πε
+
πε
=
LVS
dl
r
dS
r
dV
rr
q
U
4
1
4
1
4
1
4
. (2.9)
Так, потенциал бесконечно малого заряда q равен
∞
∞∞
∞
∫∫
πε
−=
επ
==−
r
rr
rr
r
q
dr
r
q
drEUU
|
4
4
2
,
r
q
U
r
πε
=
4
,
а q заряд можно представить в виде объемного, поверхностного или линейного интегралов.
Векторное уравнение Пуассона в декартовой системе координат эквивалентно трем скалярным
уравнениям:
()
zzyyxxzzyyxx
JJJAAAA 111111
прпрпр
2222
++µ−=∇+∇+∇=∇ ; (2.10)
xx
JA
пр
2
µ−=∇ ;
yy
JA
пр
2
µ−=∇ ;
zz
JA
пр
2
µ−=∇ ,
решениями которых по аналогии с потенциалом U служат интегралы
∫
π
µ
=
V
x
x
dV
r
J
A
пр
4
;
∫
π
µ
=
V
y
y
dV
r
J
A
пр
4
;
∫
π
µ
=
V
z
z
dV
r
J
A
пр
4
,
а так как
zzyyxx
AAAA 111 ++= , то
∫∫
π
µ
=
++
π
µ
=
VV
zzyyxx
dV
r
J
r
JJJ
A
прпрпрпр
4
111
4
. (2.11)
Формулы (2.9) и (2.11) дают возможность по заданному распределению зарядов и токов найти ска-
лярный U и векторный потенциалы
A
и затем определить DE, и HB , из соотношений
;,grad EDE ε=ν−= AHAB rot
1
,rot
µ
== .
Как и в случае линейного распределения зарядов при линейных токах, когда поперечные размеры
проводников пренебрежимо малы по сравнению с длиной и расстоянием r до точки наблюдения, фор-
мула (2.11) упрощается и соответствует закону Био-Савара:
∫∫
π
µ
=
π
µ
=
VL
r
ldI
ldSd
r
J
A
44
пр
;
(
)
∫∫
π
=
π
=
LL
r
rldI
r
ldI
H
3
4
rot
4
. (2.12)
2.4 Методы решения уравнения Лапласа

Страницы