Основы технической электродинамики. Малков Н.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Существует несколько методов решения уравнения Лапласа 0
2
=ν∇ . Подробно известные методы
описаны, например, в учебнике для студентов вузов [2].
Условия, при выполнении которых решение уравнения, полученное каким-либо методом, можно
считать единственным, определяются теоремой единственности.
Она формулируется следующим образом.
Из множества функций, являющихся решениями уравнения Лапласа, существует только одна, удов-
летворяющая граничным условиям, т.е. если каким-то путем удалось найти решение граничной задачи,
то оно и только оно является искомым решением. Из теоремы единственности следует также, что если
две функции, представляющие собой решения уравнения Лапласа, совпадают на поверхности S, ограни-
чивающей объем V, то они совпадают во всем объеме V.
Рассмотрим некоторые методы решения уравнения Лапласа на конкретных примерах.
1 Метод разделения переменных применительно к определению магнитного поля полой стальной
сферической оболочки, расположенной в однородном магнитном поле.
Полую стальную сферическую оболочку с внутренним r
1
и внешним r
2
радиусами поместим в од-
нородное магнитное поле с напряженностью H
0
, например, в поле Земли H
0гор
= 40 А/м, В
0гор
= 5,0 ⋅ 10
-5
Тл (рис. 2.4).
В этом случае скалярный потенциал магнитного поля U
м
, внутри и в стенке оболочки, а также во
внешней среде удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферической системе координат с учетом
независимости потенциала от угла ϕ из-за симметрии системы состоит из двух слагаемых
0sin
sin
11
м
2
м
2
2
м
2
=
ϑ
ν
ϑ
ϑ
ϑ
+
ν
=ν∇
d
d
d
d
r
dr
d
r
dr
d
r
. (2.13)
После замены ν
м
произведением двух функций X(ϑ)Y(r), т.е. U
м
=
= X(ϑ) Y(r), каждая из которых зависит только от одной координаты ϑ или r , и разделения переменных
уравнение (2.13) переходит в два равенства
Y
0
H
0м=
ν
1
H
ϑ
1
µ
2
µ
x
0
3
µ
2
r
1
r
′′
1
′′
′′2′′
′′3′′
Рис. 2.4
λ=
∂
∂
∂
∂
)
)(
(
)(
1
2
r
rY
r
rrY
;
(
)
λ=
ϑ∂
ϑ
∂
ϑ
ϑ∂
∂
ϑϑ
−
Y
X
sin
sin)(
1
,
где λ – постоянная величина.
Первое равенство из этой системы называется уравнением Эйлера, решением которого [10] являет-
ся сумма
()
(
)
1+−
+=
n
n
n
n
rBrArY , (2.14)
где A
n
, B
n
– постоянные величины; n = 0, 1, 2, 3, ...;
(
)
1
+
=
λ
nn .
Второе равенство при
()
1+
=
λ nn приводит к уравнению Лежандра [10], решением которого служит
полином Лежандра от аргумента сosϑ, т.е. X(ϑ) = P
n
(сosϑ).
Общее решение для скалярного потенциала представляется в виде суммы
()
()
()
ϑ+=
∑
∞
=
+−
cos
1
1
м n
n
n
n
n
n
PrBrAU . (2.15)
Истинным решением уравнения Лапласа для исследуемой задачи из этой суммы является слагаемое
при n = 1, так как только оно удовлетворяет граничным условиям

Страницы