Основы технической электродинамики. Малков Н.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В прямоугольной системе координат x, y, z каждое векторное уравнение разделяется на три незави-
симые скалярные уравнения
xx
AA γ−=∇
2
;
yy
AA γ−=∇
2
;
zz
AA γ−=∇
2
;
xx
AA
′
γ−=
′
∇
22
;
yy
AA
′
γ−=
′
∇
22
;
zz
AA
′
γ−=
′
∇
22
.
Общее решение скалярного уравнения в любом слое l определим в виде интеграла
()
()
λλ−ϕ
′
+
∫
∞
µµ−
drJnefef
n
z
l
z
l
ll
cos
0
, (3.14)
где
ll
ff
′
, – функции, определяемые из граничных условий
22
ll
γ−λ=µ ,
22
yxr += ,
y
x
arctg=ϕ
.
Для проверки подставим (3.14), например при п = 0, в оператор Лапласа скалярного уравнения
() () ()
∫∫∫
∞
µ±
∞∞
µ±µ±
=λλ−
∂
∂
+λλ−
∂
∂
+λλ−
∂
∂
0
0
00
2
0
2
0
2
drJfe
z
drJfe
y
drJfe
x
lll
zzz
() () () ()
λ
λ−µ+λ−
λ
−λ−
′
λ−λ−
′
λ−=
∫
∞
µ±
drJrJ
r
r
y
rJ
r
x
rJfe
l
z
l
0
0
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
,
а так как
() ()
(
)
r
rJ
rJrJ
λ−
λ
−
−λ−=λ−
′
1
01
,
222
ll
γ−λ=µ , то
() ()
∫∫
∞
µ±
∞
µ±
λλ−γ−=λλ−∇
0
0
0
0
2
drJfedrJfe
ll
z
l
z
,
т.е.
()
()
∫
∞
µ−µ−
λλ−ϕ
′
+∆
0
2
cos drJnefef
n
z
l
z
l
ll
оператора Лапласа от интеграла (3.14) равен правой части скаляр-
ного уравнения, а, следовательно, выражение (3.14) является его решением.
Векторные потенциалы диполей также можно представить в виде интеграла подобного (3.14), так
как
()
()
∫
∞
µ−−
γ−
λλ−λ
µ
=
−
0
0
1
drJ
e
r
e
k
hhz
rj
kk
m
, (3.15)
где h – расстояние диполя от ближайшей верхней границы, h
k–1
– расстояние k слоя до верхней границы
среды.
Моменты вертикальных диполей ориентируем по оси z, горизонтальных – по y.
Функции f
0
и
n
f
′
для верхнего и нижнего слоев многослойной среды примем равными нулю, так как
при
z стремящемся к бесконечности
0
0
µ−z
ef и
n
z
n
ef
µ
′
беспредельно возрастают, в то время как поле
должно ослабляться.
При извлечении квадратного корня
2
c
2
γ−λ±=µ
l
вещественная часть его должна быть положитель-
ной.
Подынтегральные функции f
l
и
l
f
′
находим из системы 2π уравнений, обеспечивающих равенство
тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля на каждой
границе раздела n многослойной среды.
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА ЗАМЕНЯ-
ЮТСЯ МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ ВТОРОГО РОДА
() () ( )
[]
rjKrjKjrJ λ−−λ
π
−=λ−
000
1
, (3.16)
и каждый интеграл представляется в виде суммы из двух интегралов.
В первом интеграле суммы исходный путь интегрирования Г
0
(рис. 3.10) деформируется в путь Г
′
во втором квадранте комплексной плоскости, а во втором интегра-
ле суммы – Г
0
в путь Г в четвертом квадранте комплексной плоскости.

Страницы