Основы технической электродинамики. Малков Н.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

z
Введем нормальный к контуру
⊥
L орт
0
n , направленный внутрь металла, и тангенциальный орт
0
t ,
направленный таким образом, чтобы
000
,, ztn образовали правую тройку векторов (рис. 4.2). Разложим
лежащий в поперечном сечении вектор
z
E
0
grad
&
⊥
(и
z
H
0
grad
&
⊥
) на составляющие по ортам
00
и tn
:
t
z
n
z
zzz
l
E
n
l
E
ttEnnEE
∂
∂
+
∂
∂
=+=
⊥⊥⊥
0
0
0
00
0
00
00
)(grad)(gradgrad
&&
&&&
, (4.24)
где
t
z
n
z
l
E
l
E
∂
∂
∂
∂
00
,
&&
– соответственно производные функций
z
E
0
&
по направлениям нормали
0
n и касатель-
ной
0
t к контуре
⊥
L . Согласно
000
][ ntz −= и (4.24) имеем
[]
n
z
zzz
l
H
nHtzHtzH
∂
∂
−=−==
⊥⊥⊥
0
0
0
00
0
00
0
grad][gradgrad
&
&&&
. (4.25)
С помощью (4.12) получим выражение для тангенциальной к контуру компоненты вектора
⊥0
E
&
, ко-
торая равна
нулю:
0
00
2
0
0
=
∂
∂
γ
ωµ
∂
∂
ℵ
γ
=
⊥
n
za
t
z
l
Hi
l
E
tE
&
m
&
m
&
на
⊥
L . (4.26)
Поскольку из условия (4.23) сразу же следует равенство
0
0
=
∂
∂
t
z
l
E
&
на
⊥
L , то это приводит к следую-
щему граничному условию для составляющей
z
H
0
:
⊥
=
∂
∂
L
l
H
n
z
на0
0
. (4.27)
В случае поля класса Е соотношение (4.2) выполняется автоматически и
граничное условие имеет вид (4.26); в случае поля класса Н автоматически вы-
полняется соотношение (4.26). Таким образом, в волноводах с идеально прово-
дящими поверхностями раздела граничные условия могут быть удовлетворены
полями электрического и магнитного классов независимо друг от друга, что
приводит к возможности раздельного, независимого существования полей этих
классов. При этом функция
z
E
0
&
или
z
H
0
&
определяется путем решения двумерно-
го уравнения Гельмгольца при соответствующих граничных условиях:
;на0при0
00
2
0
2
⊥⊥
==ℵ+∇ LEEE
zzz
&&&
(4.28)
.на0при0
00
2
0
2
⊥⊥
=∂∂=ℵ+∇ LlHHH
nzzz
&&&
(4.29)
Условия (4.28) и (4.29) определяют две краевые задачи, называемые соответственно задачей Дирих-
ле и задачей Неймана. В математике доказывается в общем виде, а в следующей главе показывается на
частных примерах, что внутри замкнутого контура
⊥
L (волновод) отличное от нуля решение задачи
(4.28) или (4.29) возможно не при любом
2
ℵ , а лишь при строго определенных дискретных веществен-
ных положительных значениях
...,,,,
2
3
2
2
2
1
ℵℵℵ (4.30)
которые называют собственными числами краевой зада чи. Собственные числа определяются формой и
размерами контура
⊥
L , образуют бесконечную последовательность величин, возрастающих от некото-
рого наименьшего значения до бесконечности. Далее они обозначаются через
2
ν
ℵ . Каждому собствен-
z
z
0
n
0
t
0
РИС. 4.2

Страницы