ВУЗ:
Составители:
не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну
такую кривую.
Для построения фигуры Коха (рис 6.6.) берется отрезок
единичной длины. Это нулевой шаг: n = 0. При следующем шаге n = 1
посредине отрезка вырезается другой отрезок длиной в 1/3 первого, на
котором строится равносторонний треугольник. При следующем шаге
на каждом из полученных отрезков вырезается интервал длиной в 1/3 от
него и проводится точно такое же построение, как и при n = 1. Далее
процедура построения повторяется при n → ∞.
Рис. 6.6. Четыре стадии формирования
самоподобной кривой Коха:
на каждой
стадии замена средней трети каждого сегмента
производится в направлении, которое
увеличивает площадь под кривой
Определим длину L полученной фигуры. Так как после каждого
шага она увеличивается в 4/3 раза, то при n-ом шаге получаем
L
n
= (4/3)
n
. Поскольку длина каждого звена составляет l
n
= (1/3)n, то
n = – ln l
n
/ln3. Легко видеть, что между полезной длиной L
n
и
элементарной l
n
выполняется соотношение
1
f
d
L
l
−
, где фрактальная
размерность d
f
= ln 4/ln 3 = 1,263… . Следовательно, о кривой Коха
можно сказать, что она уже не одномерна, но еще и не двумерна.
Соответствует ли это утверждение зрительному впечатлению о
характере заполнения пространства треугольной кривой Коха? Число
отрезков N
n
= L
n
/ l
n
, составляющих фигуру Коха, определяется
соотношением
()
f
d
Nl l
−
. (6.5)
114
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
