Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

10
Решение: Так как функция
)(zf
аналитична, то для нее
выполняется условие Коши-Римана
y
v
x
u
.
12
x
x
u
, значит
xCyxydyxv
212
.
Исходя из второго условия
x
v
y
u
:
xCy
x
v
y
y
u
'12,2
, значит
xCyy '22
,
0' xC
,
CxC
.
Таким образом
,
iCyxxyxzf 2)(
22
.
1.4. Интегрирование функций комплексного переменного.
Теорема Коши.
Так как функция комплексного переменного может быть
представлена в виде
);();()( yxivyxuzf
, то интеграл от
функции по контуру
L
(гладкой кривой) может быть вычислен:
udyvdxivdyudxdzzf
LLL
)(
.
Свойства интегралов от функции комплексного
переменного.
1)
0
zzdz
L
;
2)
LLL
dzzfdzzfdzzfzf
2121
;
3)
LL
dzzfadzzaf
, а – комплексное число; 
        Решение: Так как функция f (z ) аналитична, то для нее
                                                         u v
                 выполняется условие Коши-Римана               .
                                                         x y
                 u
                      2x  1,                               значит
                  x
                 v   2 x  1dy  2 xy  y  C x  .
                                                               u   v
                    Исходя из второго условия                      :
                                                               y   x
                    u                v
                           2 y,          2 y  1  C ' x  , значит
                    y                x
                     2 y  2 y  C ' x  ,
                    C ' x   0 ,
                    C x   C .
                    Таким образом v( x; y)  2 x  y  C ,
                     f ( z )  x 2  y 2  x   2 x  y  C i .

1.4. Интегрирование функций комплексного переменного.
                      Теорема Коши.

     Так как функция комплексного переменного может быть
представлена в виде f ( z)  u( x; y)  iv ( x; y) , то интеграл от
функции по контуру L (гладкой кривой) может быть вычислен:
                f ( z)dz   udx  vdy  i   vdx  udy .
                     L               L                     L
     Свойства       интегралов               от        функции     комплексного
переменного.
   1)  dz  z  z 0 ;
        L

   2)     f z   f z dz   f z dz   f z dz ;
        L
            1        2
                                 L
                                         1
                                                   L
                                                       2


   3)    af z dz  a   f z dz , а – комплексное число;
        L                L


                                              10

Страницы