Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

9
1.3. Условие дифференцируемости функции комплексного
переменного.
Теорема (условие Коши-Римана).
Если функция
);();()( yxivyxuzf
определена в
некоторой окрестности точки
iyxz
, причем в этой точке
действительные функции
);( yxu
и
);( yxv
дифференцируемы, то
для дифференцируемости функции
)(zf
в точке
z
, необходимо
и достаточно чтобы в этой точке выполнялись равенства:
y
v
x
u
и
x
v
y
u
.
Производную дифференцируемой функции
можно
находить по формулам:
x
v
i
x
u
zf
)('
или
x
v
i
y
v
zf
)('
.
Правила дифференцирования для функции комплексного
переменного остаются такими же, как и для функции
действительного переменного.
ПРИМЕРЫ.
1. Проверить, является ли функция
yixyxzf
222
2)(
дифференцируемой.
Решение: Проверим для функции выполняемость условия
Коши-Римана.
yxyxvyxyxu
222
2);(;);(
;
2
2;4;2;2 x
y
v
xy
x
v
y
y
u
x
x
u
.
Значит
2
22 xx
,
xyy 42
– равенства
неверные, то есть функция
не является
аналитической.
2. Дана действительная часть аналитической функции
,
xyxyxu
22
);(
. Найти саму функцию. 
1.3. Условие дифференцируемости функции комплексного
                       переменного.

     Теорема (условие Коши-Римана).
     Если функция              f ( z)  u( x; y)  iv ( x; y) определена в
некоторой окрестности точки z  x  iy , причем в этой точке
действительные функции u ( x; y) и v( x; y) дифференцируемы, то
для дифференцируемости функции f (z ) в точке z , необходимо
и достаточно чтобы в этой точке выполнялись равенства:
                             u v          u        v
                                        и                 .
                             x y          y        x
     Производную дифференцируемой функции f (z ) можно
находить по формулам:
                            u        v                    v    v
                 f ' ( z)      i      или f ' ( z )        i .
                            x        x                    y    x
     Правила дифференцирования для функции комплексного
переменного остаются такими же, как и для функции
действительного переменного.
     ПРИМЕРЫ.
                                                                 
   1. Проверить, является ли функция f ( z )  x 2  y 2  2 x 2 yi
       дифференцируемой.
       Решение: Проверим для функции выполняемость условия
                   Коши-Римана.
                    u( x; y)  x 2  y 2 ; v( x; y)  2 x 2 y ;
                    u             u             v             v
                          2 x;         2 y;          4 xy;       2x 2 .
                     x             y            x             y
                   Значит 2 x  2 x ,  2 y  4 xy – равенства
                                          2


                   неверные, то есть функция f (z ) не является
                   аналитической.
   2. Дана действительная часть аналитической функции f (z ) ,
       u( x; y)  x 2  y 2  x . Найти саму функцию.



                                        9

Страницы