Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

11
4)
L
L
dzzfdzzf
– при замене пути интегрирования
знак интеграла меняется на противоположный;
5)
21
LLL
dzzfdzzfdzzf
,
21
LLL
;
6) интеграл от элементарных функций комплексного
переменного в области их аналитичности вычисляется по
формулам и методам, что и в действительном анализе.
ПРИМЕР.
Вычислить
C
az
dz
, C – окружность
Raz
,
пробегаемая против часовой стрелки.
Решение: Данную окружность параметрически можно
представить в виде
it
atz Re)(
,
dtRiedz
it
,
2;0t
.
.
Теорема Коши.
1. Если функция
)(zf
аналитична в односвязной области D,
то интеграл от этой функции по любому замкнутому
контуру L, лежащему в области D, равен нулю.
2. Пусть функция
)(zf
аналитична в замкнутой
односвязной области D, L – граница области. Тогда имеет
место формула
L
dz
zz
zf
i
zf
0
0
)(
2
1
)(
,
где
Dz
0
– любая точка внутри области D, а
интегрирование по контуру проводится против часовой
стрелки. Данная формула называется интегральной
формулой Коши. 
   4)     f z dz    f z dz        – при замене пути интегрирования
         L                 L
      знак интеграла меняется на противоположный;
   5)  f z dz   f z dz   f z dz , L  L1  L2 ;
         L            L1                  L2

   6) интеграл от элементарных функций комплексного
      переменного в области их аналитичности вычисляется по
      формулам и методам, что и в действительном анализе.

        ПРИМЕР.
                                dz
        Вычислить            za,
                            C
                                               C   –    окружность            z  a  R,

пробегаемая против часовой стрелки.
      Решение: Данную окружность параметрически можно
               представить в виде z (t )  a  Re it , dz  Rie it dt ,
                t  0;2  .
                                     2                  2           2
                         dz               Rie it dt
                     C z  a       0 a  Re it  a  0 idt  it   0
                                                                            2i .


     Теорема Коши.
   1. Если функция f (z ) аналитична в односвязной области D,
      то интеграл от этой функции по любому замкнутому
      контуру L, лежащему в области D, равен нулю.
   2. Пусть функция          f (z ) аналитична в замкнутой
      односвязной области D, L – граница области. Тогда имеет
      место формула
                                   1    f ( z)
                     f ( z0 )       
                                 2i L z  z 0
                                               dz ,

      где z 0  D – любая точка внутри области D, а
      интегрирование по контуру проводится против часовой
      стрелки. Данная формула называется интегральной
      формулой Коши.


                                                   11

Страницы