Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 13 стр.

  2. Ряды Лорана. Нули аналитической функции.
             Вычеты и их приложения.
                            

                         C z  z 
                                                       n
      Ряд вида                   n                0         называют рядом Лорана, который
                        n  
                                 может быть представлен
                                                1                                

            C z  z                           C z  z    C z  z                             .
                                     n                                     n                        n
                    n            0                          n          0                  n     0
           n                                  n                              n 0
               

              C z  z 
                                             n
     Ряд                n            0           называется правильной частью ряда
             n 0
Лорана,      областью       сходимости                                              которого                является
круг z  z0  R, R  0, R   .
             1                                            

             Cn z  z0  или                              C z  z 
                                         n                                          n
     Ряд                                                          n           0          называется главной
           n                                            n 1

частью ряда Лорана, область сходимости r  z  z0  R .
        Теорема.
        Всякая функция, аналитическая в кольце r  z  z0  R ,
может быть представлена в этом кольце в виде суммы
             
                                         f t dt
 f z    Cn z  z0  , где Cn                    ; G – любая
                        n

          n                      c t   z  0 n 1


окружность с центром z 0 , лежащая в кольце r  z  z0  R .

     ПРИМЕРЫ.
         Дана функция f z  
                                                                       1
                                                                                     . Разложить функцию
                                                             2  z z  3
    f z  в ряд Лорана в областях: а) z  2 ; б) 2  z  3 ; в)
    z  3.
     Решение: Представив дробь как сумму элементарных
дробей имеем


                                                                  13