Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 25 стр.

        3.2. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

     Мы определили, что всякую функцию f(x) можно
разложить в ряд Фурье на  l; l  :
                         
                                                             n
            f x   0   an cos wn x  bn sin wn x, wn 
                    a
                                                                .
                     2 n1                                    e
                                      
                f x          dw f t  cosw  t dt ,
                           1
                          2  
     Формула                                                  называется

формулой Фурье, а интеграл в правой части называется
интегралом Фурье.         Формула       справедлива в точках
непрерывности функции.
     Интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид
                                     
                    f x         dw  f t e iw xt dt .
                              1
                                 
                             2  

      ПРИМЕР.
                                              1, при x  1
      Представить функцию            f ( x)               интегралом
                                              0, при x  1
Фурье в комплексной форме.
    Решение: Используя комплексную форму интеграла Фурье
                       1                       
                                                      iwx 1 iwt 
     f x  
                1          iw x  t        1
               2  1                   2  
                     dw e              dt        dw e  e dt  
                                                           1       
        1   e iwx iwx 
                                  1
                                                 
                                                          
                                               1 e iwx e iw  e iw
       2  iw                            2 
                      e         |    dw                         dw 
                                       
                                  1                      iw
                                     
         1 e iwx e iw  e iw      1      sin w iwx
                           dw              e dw
         w         2               
                                            w
                          
      Итак f x  
                      1   sin w iwx
                          
                        w
                                e dw .




                                       25